7.2.5.1 フィッティングに用いた計算モデル

ある系に流入する単位時間当たりの熱量を $q_{in}(\theta)$(W)、外部に流出する熱量を $q_{out}(\theta)$(W)とし、温度に依存する関数とする。この系のある時刻での温度を$\theta(t)$とすると、熱のバランス条件より

$$q_{in} - q_{out} = k \frac{d \theta}{dt} \quad (k \equiv C \rho V)$$ (7.1)

ここでCは比熱 $[J/(g\cdot K)]$、$\rho$は密度$(g/cm^{3})$、Vは体積$(cm^{3})$である。また、熱源からの発熱量が一定であり、流出する熱量が温度の一次関数であると仮定すると境界条件より

$$q_{in} = P \quad (W)$$ (7.2)

$$q_{out} = \alpha (\theta - \theta_{L}) \quad(W)$$ (7.3)

となる。ここで$\alpha$は系全体で積分された熱伝達係数[W/K]である。

電磁石の電源をオフした場合には$q_{in}=0$となり、一階の微分方程式の解と境界条件から

$$\theta(t) = \theta_{L} + \Delta exp(-\frac{a}{k}t)$$ (7.4)

となることがわかる。ここで$\theta_{L}$、$\Delta$は磁石運転前の温度および温度上昇である。 この関数形で測定データをフィットすることにより、熱伝達係数$\alpha$が求められる。電磁石の電源がオンの場合には

$$P - \alpha (\theta - \theta_{L}) = k \frac{d\theta}{dt}$$ (7.5)

となり、系が熱平衡状態に達すると $\frac{d\theta}{dt} \rightarrow 0$となることから

$$P = \alpha (\theta_{H} - \theta_{L})$$ (7.6)

となり、系に流入する熱量が求められる。ここで$\theta_{H}$は平衡状態に達した時の温度である。

実際のフィッティングではexp型だけではうまくフィットできない部分があり、その場合には二次の多項式も付け加えてフィットを行なった。フィッティング関数は以下の通りである。

$$\theta(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \theta_{0} & \mbox{$... ...+ P_{2}(t-t_{0})) & \mbox{$(t\ge t_{0})$} \end{array} \right.$$ (7.7)